1. Introducción a los logaritmos
Los logaritmos son una herramienta matemática muy útil que nos permite resolver problemas relacionados con exponentes y potencias. En 1º de bachillerato, se introduce el concepto de logaritmo y se estudian sus propiedades básicas.
Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un determinado número. Se representa de la siguiente manera:
logb(x) = y
Donde «b» es la base, «x» es el número y «y» es el logaritmo.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación log2(8) = y, esto significa que 2 elevado a la potencia «y» es igual a 8. En este caso, el logaritmo de 8 en base 2 es igual a 3, ya que 23 = 8.
Los logaritmos tienen muchas aplicaciones en matemáticas, ciencias y tecnología. Son especialmente útiles para simplificar cálculos y resolver problemas que involucran exponentes y potencias.
2. Propiedades de los logaritmos
Los logaritmos tienen varias propiedades que nos permiten simplificar y resolver ecuaciones logarítmicas. A continuación, se presentan las propiedades más importantes:
Propiedad 1: El logaritmo de la multiplicación de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada número.
logb(x * y) = logb(x) + logb(y)
Propiedad 2: El logaritmo de la división de dos números es igual a la resta de los logaritmos de cada número.
logb(x / y) = logb(x) – logb(y)
Propiedad 3: El logaritmo de una potencia de un número es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número.
logb(xn) = n * logb(x)
Propiedad 4: El logaritmo de la raíz n-ésima de un número es igual al logaritmo del número dividido por n.
logb(√[x]) = logb(x) / n
Estas propiedades nos permiten simplificar expresiones logarítmicas y resolver ecuaciones logarítmicas de manera más sencilla.
3. Resolución de ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones logarítmicas, debemos aplicar las propiedades de los logaritmos y despejar la incógnita. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo resolver ecuaciones logarítmicas:
Ejemplo 1: Resolver la ecuación log2(x) = 3.
Aplicando la propiedad 1, podemos escribir la ecuación como:
log2(x) = log2(23)
Utilizando la propiedad 3, podemos simplificar la ecuación:
log2(x) = 3 * log2(2)
Como log2(2) = 1, la ecuación se reduce a:
log2(x) = 3 * 1
Finalmente, despejamos la incógnita «x» elevando la base 2 a ambos lados de la ecuación:
2log2(x) = 23
Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
x = 8
Ejemplo 2: Resolver la ecuación log3(x + 1) = 2.
Aplicando la propiedad 1, podemos escribir la ecuación como:
log3(x + 1) = log3(32)
Utilizando la propiedad 3, podemos simplificar la ecuación:
log3(x + 1) = 2 * log3(3)
Como log3(3) = 1, la ecuación se reduce a:
log3(x + 1) = 2 * 1
Finalmente, despejamos la incógnita «x + 1» elevando la base 3 a ambos lados de la ecuación:
3log3(x + 1) = 32
Por lo tanto, la solución de la ecuación es:
x + 1 = 9
Despejando «x», obtenemos:
x = 8
Estos ejemplos ilustran cómo resolver ecuaciones logarítmicas utilizando las propiedades de los logaritmos.
4. Resolución de problemas con logaritmos
Los logaritmos también se utilizan para resolver problemas prácticos en diversas áreas, como la física, la química y la economía. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo resolver problemas utilizando logaritmos:
Ejemplo 1: Un material radiactivo se descompone según la ecuación N = N0 * e-kt, donde N es la cantidad de material en un momento dado, N0 es la cantidad inicial de material, k es una constante de descomposición y t es el tiempo transcurrido. Si se sabe que el material se descompone a la mitad en 10 años, ¿cuál es la constante de descomposición?
Para resolver este problema, podemos utilizar logaritmos. Sabemos que cuando el material se descompone a la mitad, N = N0 / 2. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos:
N0 / 2 = N0 * e-k * 10
Dividiendo ambos lados de la ecuación por N0, obtenemos:
1 / 2 = e-k * 10
Tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
ln(1 / 2) = -k * 10
Despejando «k», obtenemos:
k = -ln(1 / 2) / 10
Por lo tanto, la constante de descomposición es aproximadamente -0.0693.
Ejemplo 2: En una población de bacterias, la cantidad de bacterias N en un momento dado sigue la ecuación N = N0 * 2kt, donde N0 es la cantidad inicial de bacterias, k es una constante de crecimiento y t es el tiempo transcurrido. Si se sabe que la población se duplica cada 3 horas, ¿cuál es la constante de crecimiento?
Para resolver este problema, podemos utilizar logaritmos. Sabemos que cuando la población se duplica, N = 2 * N0. Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos:
2 * N0 = N0 * 2k * 3
Dividiendo ambos lados de la ecuación por N0, obtenemos:
2 = 2k * 3
Tomando logaritmo base 2 en ambos lados de la ecuación, obtenemos:
log2(2) = k * 3
Despejando «k», obtenemos:
k = log2(2) / 3
Por lo tanto, la constante de crecimiento es aproximadamente 0.231.
Estos ejemplos ilustran cómo resolver problemas utilizando logaritmos en situaciones prácticas.
5. Ejercicios de repaso
A continuación, se presentan algunos ejercicios de repaso para practicar los conceptos de logaritmos en 1º de bachillerato:
Ejercicio 1: Resolver la ecuación log5(x) = 2.
Ejercicio 2: Resolver la ecuación log4(x + 1) = 3.
Ejercicio 3: Resolver la ecuación log2(x) + log2(x + 1) = 4.
Ejercicio 4: Resolver la ecuación log3(x) – log3(x – 1) = 2.
Ejercicio 5: Un material radiactivo se descompone según la ecuación N = N0 * e-kt. Si se sabe que el material se descompone a la mitad en 5 años y la cantidad inicial de material es 1000, ¿cuál es la constante de descomposición?
Ejercicio 6: En una población de bacterias, la cantidad de bacterias N en un momento dado sigue la ecuación N = N0 * 2kt. Si se sabe que la población se duplica cada 2 horas y la cantidad inicial de bacterias es 100, ¿cuál es la constante de crecimiento?
Estos ejercicios te ayudarán a practicar y reforzar tus conocimientos sobre logaritmos en 1º de bachillerato.
