1. Definición de límite
En el contexto de las matemáticas, el límite es un concepto fundamental que se estudia en el segundo año de bachillerato. El límite de una función es el valor al que se acerca dicha función cuando su variable independiente se acerca a un determinado valor. Formalmente, se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, es igual a L si para cualquier valor positivo ε, existe un valor positivo δ tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces |f(x) - L| < ε. En otras palabras, el límite de una función f(x) cuando x tiende a a, es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a, sin necesariamente alcanzarlo. El límite puede existir o no existir, y puede ser finito o infinito.
2. Propiedades de los límites
Los límites tienen varias propiedades que nos permiten simplificar su cálculo y manipulación. Algunas de las propiedades más importantes son:
– La suma de los límites de dos funciones es igual al límite de la suma de las funciones.
– El producto de los límites de dos funciones es igual al límite del producto de las funciones.
– El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.
– El límite de una función elevada a una potencia es igual al límite de la función elevada a esa potencia.
– El límite de una función compuesta es igual al límite de la función exterior aplicado al límite de la función interior.
Estas propiedades nos permiten simplificar el cálculo de límites y realizar operaciones algebraicas con ellos.
3. Límites laterales
En algunos casos, es necesario estudiar los límites laterales de una función, es decir, el límite de la función cuando la variable independiente se acerca a un valor a por la izquierda (x < a) o por la derecha (x > a). Los límites laterales se representan como lim x→a⁻ f(x) y lim x→a⁺ f(x), respectivamente.
Los límites laterales son importantes para determinar si una función es continua en un punto. Si los límites laterales existen y son iguales al límite de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto.
4. Límites infinitos
Un límite infinito ocurre cuando el valor de una función se acerca a infinito o menos infinito a medida que la variable independiente se acerca a un determinado valor. Formalmente, se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende a a es infinito si para cualquier valor M, existe un valor δ tal que si 0 < |x - a| < δ, entonces f(x) > M (o f(x) < -M). Existen dos tipos de límites infinitos: límites infinitos positivos y límites infinitos negativos. Un límite infinito positivo ocurre cuando la función se acerca a infinito a medida que x se acerca a a, mientras que un límite infinito negativo ocurre cuando la función se acerca a menos infinito a medida que x se acerca a a.
5. Límites al infinito
Un límite al infinito ocurre cuando el valor de una función se acerca a un valor finito a medida que la variable independiente se acerca a infinito o menos infinito. Formalmente, se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es igual a L si para cualquier valor positivo ε, existe un valor K tal que si x > K, entonces |f(x) – L| < ε. De manera similar, se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende a menos infinito es igual a L si para cualquier valor positivo ε, existe un valor K tal que si x < -K, entonces |f(x) - L| < ε. Los límites al infinito son útiles para estudiar el comportamiento de una función en los extremos de su dominio.
6. Límites trigonométricos
Los límites trigonométricos son aquellos que involucran funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente. Algunos límites trigonométricos comunes son:
– lim x→0 sin(x)/x = 1
– lim x→0 (1 – cos(x))/x = 0
– lim x→∞ sin(x)/x = 0
– lim x→∞ (1 – cos(x))/x = 0
Estos límites son útiles para calcular derivadas y estudiar el comportamiento de funciones trigonométricas.
7. Límites de funciones racionales
Los límites de funciones racionales son aquellos que involucran cocientes de polinomios. Para calcular el límite de una función racional, es necesario simplificar la expresión y evaluar el límite de cada término por separado.
Algunos límites de funciones racionales comunes son:
– lim x→a (x^n)/(x^m) = 0 si n < m
- lim x→∞ (x^n)/(x^m) = ∞ si n > m
– lim x→a (x^n)/(x^m) = ∞ si n > m y a = 0
– lim x→∞ (x^n)/(x^m) = 0 si n < m y a = 0
Estos límites son útiles para estudiar el comportamiento de funciones racionales y determinar la existencia de asíntotas.
8. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas
Los límites de funciones exponenciales y logarítmicas son aquellos que involucran funciones como la exponencial y el logaritmo. Algunos límites de funciones exponenciales y logarítmicas comunes son:
– lim x→∞ e^x = ∞
– lim x→-∞ e^x = 0
– lim x→0 ln(x) = -∞
– lim x→∞ ln(x) = ∞
Estos límites son útiles para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales y logarítmicas.
9. Límites de sucesiones
En el estudio de los límites, también es importante considerar los límites de sucesiones. Una sucesión es una lista ordenada de números reales. El límite de una sucesión es el valor al que se acercan los términos de la sucesión a medida que el índice de la sucesión tiende a infinito.
Formalmente, se dice que el límite de una sucesión {a_n} es igual a L si para cualquier valor positivo ε, existe un valor N tal que si n > N, entonces |a_n – L| < ε. El estudio de los límites de sucesiones es importante en el análisis matemático y en la teoría de números.
10. Ejercicios resueltos
A continuación, se presentan algunos ejercicios resueltos de límites en 2º de bachillerato:
Ejercicio 1: Calcular el límite de la función f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) cuando x tiende a 2.
Solución: Para calcular el límite de esta función, podemos simplificarla factorizando el numerador y cancelando el factor común (x – 2). Obtenemos f(x) = x + 2. Ahora podemos evaluar el límite directamente sustituyendo el valor de x en la función simplificada. El límite es lim x→2 f(x) = lim x→2 (x + 2) = 4.
Ejercicio 2: Calcular el límite de la función g(x) = sin(x)/x cuando x tiende a 0.
Solución: Para calcular este límite, podemos utilizar la propiedad de los límites trigonométricos que establece que lim x→0 sin(x)/x = 1. Por lo tanto, el límite de la función g(x) es lim x→0 g(x) = 1.
Ejercicio 3: Calcular el límite de la sucesión {a_n} = (n^2 + 3n)/(2n^2 – n) cuando n tiende a infinito.
Solución: Para calcular el límite de esta sucesión, podemos simplificarla dividiendo todos los términos por n^2. Obtenemos {a_n} = (1 + 3/n)/(2 – 1/n). Ahora podemos evaluar el límite directamente sustituyendo el valor de n en la sucesión simplificada. El límite es lim n→∞ {a_n} = lim n→∞ (1 + 3/n)/(2 – 1/n) = 1/2.
Estos ejercicios resueltos son solo algunos ejemplos de los muchos problemas que se pueden encontrar en el estudio de los límites en 2º de bachillerato. Es importante practicar con diferentes tipos de ejercicios para familiarizarse con los conceptos y propiedades de los límites.
